Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）判断并证明函数在区间[0，1]上的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别把x=0，x=-1代入已知函数解析式可求
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则结合函数f（x）为偶函数有f（-x）=f（x）可求
（3）利用定义，设0＜x₁＜x₂＜1，则，根据已知即可判断f（x₂）与f（x₁）的大小即可
解答：解：（1）当x=0，x=-1时，…（2分）
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则…（4分）
因为函数f（x）为偶函数，所以有f（-x）=f（x）
既…（6分）
所以…（8分）
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，则…（12分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0…（14分）
∴
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在[0，1]为单调减函数…（16分）
点评：本题主要考察了由函数的解析式求解函数值，利用偶函数的性质求解函数的解析式，利用函数单调性的定义判断函数在某一区间上的单调性，属于函数知识的综合考查