Question

10．已知sinα，sinβ是方程8x²-6kx+2k+1=0的两根，且α．β终边互相垂直，则k=-$\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 sinα，sinβ是方程8x²-6kx+2k+1=0的两根，可得：sinα+sinβ=$\frac{3k}{4}$，sinα•sinβ=$\frac{2k+1}{8}$．又α．β终边互相垂直，不妨设$β=α+2kπ+\frac{π}{2}$．可得sinβ=cosα．于是sinα+cosα=$\frac{3k}{4}$，sinα•cosα=$\frac{2k+1}{8}$．利用同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：∵sinα，sinβ是方程8x²-6kx+2k+1=0的两根，
∴sinα+sinβ=$\frac{3k}{4}$，sinα•sinβ=$\frac{2k+1}{8}$．
又α．β终边互相垂直，
不妨设$β=α+2kπ+\frac{π}{2}$．
∴sinβ=cosα．
∴sinα+cosα=$\frac{3k}{4}$≤$\sqrt{2}$，sinα•cosα=$\frac{2k+1}{8}$．
∴$\frac{9{k}^{2}}{16}$=1+2×$\frac{2k+1}{8}$，
化为9k²-8k-20=0，
则k=2（舍去）或k=-$\frac{10}{9}$．
故答案为：-$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查了终边相同的角、同角三角函数基本关系式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．