Question

已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．

(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；

(2)求AC与PB所成角的余弦值；

(3)求二面角A－CM－B的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵⊥底面， 　　∴⊥ 　　又∠ 　　∴⊥ 　　而平面，平面， 　　且 　　∴⊥平面，　2分 　　又∥ 　　∴⊥平面，　3分 　　又平面， 　　∴平面⊥平面．　4分 　　(2)由(1)知可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 　　∵，是的中点， 　　∴，　5分 　　∴　6分 　　∴， 　　∴与所成角的余弦值为．　8分 　　(3)∵ 　　记平面的法向量为 　　则即，令则， 　　∴　9分 　　同理可得平面的法向量为　10分 　　∴　11分 　　又易知二面角的平面角为钝角， 　　∴二面角的余弦值为　12分