Question

如图，斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是面积为的菱形，∠ACC₁为锐角，侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，且A₁B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁﹣ABC的体积．

Answer 1

证明（1）：因为四边形AA₁C₁C是菱形，所以有AA₁=A₁C₁=C₁C=CA=1．
从而知△AA1B是等边三角形．
设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，
则BD⊥AA₁，由=．
知C₁到AA₁的距离为．∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等边三角形，
且C₁D⊥AA₁，所以AA_1⊥平面BC₁D．
又BC₁平面BC₁D，故AA_1⊥BC₁．
（2）由（1）知BD⊥AA₁，又侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
即B到平面AA₁C₁C的距离为BD．
又=，BD=．
所以==BD=××=．
故三棱锥A₁﹣ABC的体积为．