Question

20．下列有关命题的说法正确的有（　　）
①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题；
②命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1＜0”；
③“a=-3”是“直线l₁：ax+（1-a）y-3=0与直线l₂：（a-1）x+（2a+3）y-2=0互相垂直”的充分不必要条件；
④在双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上存在两个点满足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，其中F₁，F₂分别为双曲线C的左、右焦点．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①原命题的逆命题为“若sinx=siny，则x=y”是假命题，反例如sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$；
②原命题的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”，即可判断出真假；
③对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出；
④在双曲线C上假设存在两个点满足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，联立$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}n}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得m，n，根据双曲线的对称性可知：在双曲线的右支上存在两个点满足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，即可判断出正误．

解答 解：①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆命题为“若sinx=siny，则x=y”是假命题，反例如sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$；
②命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”，因此是假命题；
③直线l₁：ax+（1-a）y-3=0与直线l₂：（a-1）x+（2a+3）y-2=0，当a=1时，两条直线分别化为：x-3=0，5y-2=0，此时两条直线相互垂直；当a=-$\frac{3}{2}$时，两条直线分别化为：3x-5y+6=0，5x+4=0，此时两条直线不垂直，舍去；当a≠1，-$\frac{3}{2}$时，两条直线的斜率分别为：$\frac{a}{a-1}$，$\frac{1-a}{2a+3}$，若两条直线相互垂直，则$\frac{a}{a-1}$×$\frac{1-a}{2a+3}$=-1，解得a=-3．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：a=-3，1，因此“a=-3”是“直线l₁：ax+（1-a）y-3=0与直线l₂：（a-1）x+（2a+3）y-2=0互相垂直”的充分不必要条件，是真命题．
④在双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上假设存在两个点满足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，联立$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}n}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2\sqrt{2}+4}\\{n=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，根据双曲线的对称性可知：在双曲线的右支上存在两个点满足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，因此是真命题．
综上可得：是真命题的有③④．
故选：B．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、直线相互垂直的充要条件、双曲线的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．