题目内容

函数y=x+
1
x
(x∈[
1
3
，2])的最小值为
 
；最大值为
 
．
分析：由题意函数y=x+
1
x
(x∈[
1
3
，2])可以利用基本不等式的性质求函数的最小值，利用函数的增减性求出其最大值．
解答：解：∵函数y=x+
1
x
(x∈[
1
3
，2])
∴x+
1
x
≥2（当且仅当x=1时等号成立）
∵函数在（
1
3
，1）上为减函数，在（1，2）上为增函数，
∴f（
1
3
）=3+
1
3
=
10
3
，
f（2）=
5
2
，
故答案为：2，
10
3
．
点评：此题考查不等式的基本性质及特殊函数的单调性，是一道好题．
练习册系列答案
相关题目
已知k∈R，函数f（x）=ax+k•bx（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函数y=x+
1
x
(x＞0)在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．若a=2，b=
1
2
，k=1，求函数f（x）的单调区间．
（2）若实数a，b满足ab=1．求k的值，使得函数f（x）具有奇偶性．（写出完整解题过程）
求函数y=x+
1x
(x≠0)的最值．
下列函数中最小值为2的是（　　）
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
函数y=x+
1
x
(x≠0)的值域为（　　）

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