Question

已知双曲线S的两个焦点F₁、F₂在x轴上，它的两条渐近线分别为l₁、l₂，y=x是其中的一条渐近线的方程，两条直线X=±是双曲线S的准线．
（I）设A、B分别为l₁、l₂上的动点，且2||=5，求线段AB的中点M的轨迹方程：
（II）已知O是原点，经过点N（0，1）是否存在直线l，使l与双曲线S交于P，E且△POE是以PE为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：先利用已知条件求出双曲线S的标准方程；
（I）设出M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y；再根据已知得y=x是l₁，l₂的方程，A，B，分别为l₁，l₂上的点．以及弦长公式和2||=5，即得答案：
（II）先设出直线l的方程，把直线方程与双曲线方程联立，得到P，E坐标与直线斜率之间的等量关系；再结合△POE是以PE为斜边的直角三角形对应的结论=0．即可求出最终结论．（注意对直线方程分斜率存在和不存在两种情况来讨论）
解答：解：根据题意设双曲线S的方程为，
根据已知，得，解方程组，得，
∴双曲线S的方程为．
（I）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
即x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵，
∴，
即=10．
由已知得y=x是l₁，l₂的方程，A，B，分别为l₁，l₂上的点．
所以（y₁+y₂）²=（x₁-x₂）²．即（x₂-x₁）²=3（y₂+y₁）²．
（y₂-y₁）²=．
∴==10．
∴3×（2y）²+（2x）²=100．即．
所以线段AB的中点M的轨迹方程为：．
（II）∵经过点N（0，1），斜率不存在的直线是x=0，它与曲线S不相交，
∴经过点N（0，1）斜率不存在的直线不符合要求．
当经过点N（0，1）的直线斜率存在时，设方程为y=kx+1．
假设它满足要求，根据已知设P（x₃，kx₃+1），E（x₄，kx₄+1）
∵△POE是以PE为斜边的指直角三角形
∴=0．即x₃x₄+（kx₃+1）（kx₄+1）=0．
∴（1+k²）x₃x₄+k（x₃+x₄）+1=0．
由得（1-3k²）x²-6kx-6=0．
∴x₃+x₄=，x₃•x₄=．
∴（1+k²）=1．化简得：3k²+5=0，此方程无实数根．
所以经过点N（0，1）斜率存在的直线l也不满足要求．
综上可得：满足要求的直线l不存在．
点评：本题是一道综合性很强的好题．涉及到的知识点有：双曲线标准方程的求法，轨迹方程的求法，两点间的距离公式，以及韦达定理等，是对知识的综合考查，要想在这种类型题目上得分，需要有比较扎实的基本功．