题目内容
已知A、B分别是直线y=
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| 3 |
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| 3 |
| 3 |
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若
| RM |
| MQ |
| RN |
| NQ |
分析：（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．P是线段AB的中点，A、B分别是直线y=
x和y=-
x上的点，y1=
x1和y2=-
x2．再由|
|=2
知动点P的轨迹C的方程为
+y2=1．
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，然后利用根与系数的关系进行求解．
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| 3 |
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| 3 |
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| 3 |
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| 3 |
| AB |
| 3 |
| x2 |
| 9 |
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
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解答：解：（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵P是线段AB的中点，∴
（2分）
∵A、B分别是直线y=
x和y=-
x上的点，
∴y1=
x1和y2=-
x2．
∴
（4分）
又|
|=2
，∴（x1-x2）2+（y1-y2）2=12．（5分）
∴12y2+
x2=12，
∴动点P的轨迹C的方程为
+y2=1．（6分）
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．（7分）
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），
则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，（9分）
∴x3+x4=
，①x3x4=
．②（10分）
∵
=λ
，∴（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）]．
即
∴x3=λ（1-x3）．∵l与x轴不垂直，∴x3≠1，
∴λ=
，
同理μ=
．（12分）
∴λ+μ=
+
=
．
将①②代入上式可得λ+μ=-
．（14分）
∵P是线段AB的中点，∴
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∵A、B分别是直线y=
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| 3 |
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| 3 |
∴y1=
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| 3 |
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| 3 |
∴
|
又|
| AB |
| 3 |
∴12y2+
| 4 |
| 3 |
∴动点P的轨迹C的方程为
| x2 |
| 9 |
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．（7分）
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），
则M、N两点坐标满足方程组
|
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，（9分）
∴x3+x4=
| 18k2 |
| 1+9k2 |
| 9k2-9 |
| 1+9k2 |
∵
| RM |
| MQ |
即
|
∴x3=λ（1-x3）．∵l与x轴不垂直，∴x3≠1，
∴λ=
| x3 |
| 1-x3 |
同理μ=
| x4 |
| 1-x4 |
∴λ+μ=
| x3 |
| 1-x3 |
| x4 |
| 1-x4 |
| (x3+x4)-2x3x4 |
| 1-(x3+x4)+x3x4 |
将①②代入上式可得λ+μ=-
| 9 |
| 4 |
点评：本题主要考查直线与椭圆的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．
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