题目内容
已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a．（1）当a=2时，解上述不等式；
（2）如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．
分析：（1）先分类讨论，根据x的范围先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
（2）作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，从而求出a的范围；
（2）作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，从而求出a的范围；
解答：
解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2
当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2，解得x＞
，∴
＜x＜3
当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2，∴3≤x≤4
当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得x＜
，∴4＜x＜
综上，原不等式解集为{x|
＜x＜
}；（5分）
（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，
若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，
或y=a与y=1重合，∴a≤1
所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）
法二、：y=|x-3|+|x-4|=
当x≥4时，y≥1
当3≤x＜4时，y=1
当x＜3时，y＞1
综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]min
∴a≤1（10分）
法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
当且仅当（x-3）（x-4）≤0时，上式取等号
∴a≤1．
解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2，解得x＞
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2，∴3≤x≤4
当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得x＜
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
综上，原不等式解集为{x|
| 5 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，
若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，
或y=a与y=1重合，∴a≤1
所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）
法二、：y=|x-3|+|x-4|=
|
当x≥4时，y≥1
当3≤x＜4时，y=1
当x＜3时，y＞1
综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]min
∴a≤1（10分）
法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
当且仅当（x-3）（x-4）≤0时，上式取等号
∴a≤1．
点评：此题考查绝对值不等式的解法，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．
练习册系列答案
相关题目
选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．