Question

已知圆C满足：
（1）截y轴所得弦MN长为4；
（2）被x轴分成两段圆弧，其弧 长之比为3：1，且圆心在直线y=x上，求圆C的方程．（为方便学生解答，做了一种情形的辅助图形）

Answer 1

分析：设出圆的方程，圆心为（a，b），半径为r，根据垂径定理及勾股定理得到r²=4+a²，根据圆C被x轴分成的两点圆弧，弧长之比为3：1，得到角ACB等于90°，得到圆的半径r等于

2

|b|，又根据圆心在直线y=x上，把圆心坐标代入y=x中得到a=b，
把得到的三个等式联立即可求出a，b及r的值，进而得到圆C的圆心坐标及半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答：解：设圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，圆心是（a，b），半径是r，
∵圆截y轴所得弦长为4，
∴r²=4+a²．
∵被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，
∴r=

2

|b|．
∵圆心（a，b）在直线y=x上，
∴b=a．
∴

r2=a2+4 r= 2 |b b=a

，
解得：a=b=2，r=2

2

或者a=b=-2，r=2

2

，
所以圆的方程：（x-2）²+（y-2）²=8或者（x+2）²+（y+2）²=8．

点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及勾股定理化简求值，掌握圆中的弧之比所对的圆心角之比的性质，是一道多知识的综合题．