题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 经过点 $数学公式$ ，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线 $数学公式$ 交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵椭圆 $\text{[math]}$ 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
又∵椭圆经过点 $\text{[math]}$ ，代入可得b=1，
∴ $\text{[math]}$ ，故所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ （3分）
（2）首先求出动直线过（0， $\text{[math]}$ ）点．（5分）
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： $\text{[math]}$
当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1
由 $\text{[math]}$
即两圆相切于点（0，1），因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．事实上，点T（0，1）就是所求的点．（7分）
证明如下：
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L： $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$
记点A（x₁，y₁）、 $\text{[math]}$ （9分） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．（12分）
分析：（1）由题设知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，椭圆经过点 $\text{[math]}$ ，代入可得b=1， $\text{[math]}$ ，由此可知所求椭圆方程为 $\text{[math]}$
（2）首先求出动直线过（0， $\text{[math]}$ ）点．当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： $\text{[math]}$ ；当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1．由 $\text{[math]}$ ．由此入手可求出点T的坐标．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细求解．