Question

已知函数，函数g（x）=2-f（-x）．
（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若当x∈（-1，0）时，g（x）＜tf（x）恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义，判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函数的单调性求函数的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）因为，函数g（x）=2-f（-x）．
所以，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
因为，
所以g（x）是奇函数．
（Ⅱ）由g（x）＜tf（x）得，，（*）
 当x∈（-1，0）时，，，
（*）式化为3^x+1＞t（3^x+1-1），（**） …（9分）
设3^x=u，，则（**） 式化为  （3t-1）u-t-1＜0，…（11分）
再设h（u）=（3t-1）u-t-1，
则g（x）＜tf（x）恒成立等价于，，，
解得t≤1，故实数t的最大值为1．…（14分）
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用指数函数的性质求含参问题恒成立问题，综合性较强，考查学生的运算能力．