Question

3．给出下列命题：
①复数z=$\frac{3-ai}{i}$在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件；
②设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充要条件；
③$a={log_{\frac{1}{3}}}2$，b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$3，$c={（\frac{1}{3}）^{0.5}}$大小关系是a＜b＜c；
④已知定点A（1，1），抛物线y²=4x的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则|PA|+|PF|的最小值为2；以上命题正确的是①④（请把正确命题的序号都写上）

Answer 1

分析 ①求出复数在第三象限的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，
②根据线面垂直和面面垂直的关系进行判断
③根据对数和指数幂的大小关系进行判断
④根据抛物线的定义和性质进行判断．

解答 解：①复数z=$\frac{3-ai}{i}$=-a-3i，在复平面内对应的点在第三象限，则等价为-a＜0，则a＞0，
则a＞0是a≥0的充分不必要条件；故①正确，
②因为直线l?α，且l⊥β，所以由判断定理得α⊥β．
所以直线l?α，且l⊥β⇒α⊥β
若α⊥β，直线l?α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．
所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件；故②错误，
③$a={log_{\frac{1}{3}}}2$=-log₃2∈（-1，0），b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$3=-log₂3＜-1，$c={（\frac{1}{3}）^{0.5}}$＞0，
∴b＜a＜c；故③错误，
④因为点A在抛物线开口之内，所以过A向抛物线的准线x=-1作垂线AK，垂足为K，交抛物线于点P，连接PF，则P即为所求．由抛物线的定义可知PF=PK，AK=AP+PK=AP+PF=2，由三点共线知识可得此时PA+PF最小，故④正确，
故答案为：①④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．