如图所示.∠PAQ是村里一个小湖的一角.其中∠PAQ=60°．为了给村民营造丰富的休闲环境.村委会决定在直线湖岸AP与AQ上分别建观光长廊AB与AC.其中AB是宽长廊.造价是800元/米,AC是窄长廊.造价是400元/米,两段长廊的总造价预算为12万元,同时.在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个表演舞台.并建水上通道AD(表演舞台的大小忽略不计).水上通� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图所示，∠PAQ是村里一个小湖的一角，其中∠PAQ=60°．为了给村民营造丰富的休闲环境，村委会决定在直线湖岸AP与AQ上分别建观光长廊AB与AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价预算为12万元（恰好都用完）；同时，在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个表演舞台，并建水上通道AD（表演舞台的大小忽略不计），水上通道的造价是600元/米．
（1）若规划宽长廊AB与窄长廊AC的长度相等，则水上通道AD的总造价需多少万元？
（2）如何设计才能使得水上通道AD的总造价最低？最低总造价是多少万元？

分析（1）设AB=AC=x（单位：百米），由题意可得12x=12，即x=1，求得BD=$\frac{1}{3}$，在△ABD中，由余弦定理求得AD的长，即可得到所求造价；
（2）设AB=x，AC=y（单位：百米），则两段长廊的总造价为8x+4y=12，即2x+y=3，y=3-2x，运用余弦定理求得BC，再在△ABC与△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，求得AD²的解析式，化简整理，运用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值．

解答解：（1）设AB=AC=x（单位：百米），
则宽长廊造价为8x万元，窄长廊造价为4x万元，
故两段长廊的总造价为12x万元，所以12x=12，得x=1，
又∠PAQ=60°，△ABC是边长为1的正三角形，
又点D为线段BC上靠近点B的三等分点，所以BD=$\frac{1}{3}$，
在△ABD中，由余弦定理得
AD²=BA²+BD²-2BA•BD•cos∠ABD=1+$\frac{1}{9}$-2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{9}$，即AD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
又水上通道的造价是6万元/百米，所以水上通道的总造价为2$\sqrt{7}$万元．
（2）设AB=x，AC=y（单位：百米），则两段长廊的总造价为8x+4y=12，
即2x+y=3，在△ABC中，由余弦定理得：
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=x²+y²-2xy•$\frac{1}{2}$=x²+y²-xy，
在△ABC与△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，得
$\frac{B{A}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2BA•BC}$=$\frac{B{A}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2BA•BD}$，又BC=3BD，
得AD²=$\frac{4}{9}$x²+$\frac{1}{9}$y²+$\frac{2}{9}$xy=$\frac{4}{9}$x²+$\frac{1}{9}$（3-2x）²+$\frac{2}{9}$x（3-2x）=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{2}{3}$x+1
=$\frac{4}{9}$（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{3}{4}$，当且仅当x=$\frac{3}{4}$时，AD有最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故总造价有最小值3$\sqrt{3}$万元，此时y=$\frac{3}{2}$，
即当宽长廊AB为$\frac{3}{4}$百米（75米）、窄长廊AC为$\frac{3}{2}$百米（150米）时，
水上通道AD有最低总造价为3$\sqrt{3}$万元．