Question

如图，正方形ABCD所在平面与正方形ACEF所在平面垂直．
（1）求证：BD⊥平面ACEF；
（2）求直线DE与平面ACEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直，证明AF⊥平面ABCD，进而利用线面垂直的判定，可得结论；
（2）设AC∩BD=O，并连接OE，则由（1）知，∠OED为直线DE与平面ACEF所成角，由此可得结论．

解答：（1）证明：∵正方形ACEF，∴AF⊥AC，
又∵面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC，
∴AF⊥平面ABCD，即AF⊥BD，
又AC⊥BD，AC∩AF=A，
∴BD⊥平面ACEF；
（2）解：设AC∩BD=O，并连接OE，

则由（1）知，∠OED为直线DE与平面ACEF所成角
设正方形ABCD的边长为2，则OC=OD=

2

，CE=AC=2

2

，DE=

OC2+CE2

=2

3

∴sin∠OED=

OD

DE

=

6

6

∴直线DE与平面ACEF所成角的正弦值为

6

6

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，掌握线面垂直的判定方法，正确找出线面角是关键．