Question

已知实数x，y满足

y≥2 x+y+4≥0 x-y-2≤0

，则x²+y²的最小值为

4

．

Answer 1

分析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的阴影部分区域．由坐标系内两点的距离公式可得z=x²+y²表示区域内某点到原点距离的平方，因此可得当P的坐标为（0，2）时，z达到最小值，可得本题答案．

解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到直线AB、AC、BC上方部分，即如图的阴影部分区域
其中A（-6，2），B（4，2），C（-1，-3），
设P（x，y）为区域内一个动点，
则|OP|=

x2+y2

表示点P到原点O的距离
∴z=x²+y²=|OP|²，可得当P到原点距离最远时z达到最小值
因此运动点P并对图形进行观察，
可得当P的坐标为（0，2）时，z达到最小值
∴z_最小值=0²+2²=4
故答案为：4

点评：本题给出二元一次不等式组，求z=x²+y²的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．