Question

【题目】如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， ．

(Ⅰ)证明：平面 平面 ；
(Ⅱ)若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ,

,

∴ ⊥平面 ，

∴

又

∴

又

,

,又因为 ∥

∴

又∵ , 平面 , 平面

∴ 平面

而 平面 ∴平面 平面

(Ⅱ)由（Ⅰ）所证， 平面

所以∠ 即为二面角 的平面角，即∠

而 ，所以

分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系。

则 ， ， ，

所以， ， ，

设平面 的法向量为 ，则

即 可取

∴ 与平面 所成角的正弦值为

【解析】(I)证明面面垂直，关键是线面垂直，由题知P D ⊥平面 A B C D，可得P D ⊥ B C，，根据余弦定理可得B C ⊥ B D，得证。
（II）由第（I）问可建系，根据长度关系，求出点的坐标，进而求出面OBC的法向量，应用线面角的公式可得。
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)，还要掌握用空间向量求直线与平面的夹角(设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：)的相关知识才是答题的关键．