Question

设a₁，a₂，…，a_n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的个数，而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f_n=g₁=0，例如：对于排列3，1，2，f₁=2，f₂=0，f₃=0
（I）对于排列4，2，5，1，3，求

n

k=1

fk
（II）对于项数为2n-1 的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项，试求

n

k=1

gk的最大值，并写出相应得一个排列
（Ⅲ）证明

n

k=1

fk=

n

k=1

gk．

Answer 1

分析：（I）直接按定义来操作，根据f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的个数，看出符合条件的元素的个数，得到结果．
（II）（II）当项数为2n-1 的一个排列，2n-1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，要求

n

k=1

gk的最大值，只要使得排列满足n到2n-2排列到2n-1的前面，1到n-1排列到2n-1的后面，得到结果．
（III）f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的个数，而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f_n=g₁=0，依次得到f_n-1=g₂，…，得到各项之和相等．

解答：解：（I）∵排列4，2，5，1，3，
f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的个数，
∴f₁=3，f₂=1，f₃=2，f₄=0，f₅=0，
∴

n

k=1

fk=3+1+2+0+0=6．
（II）当项数为2n-1 的一个排列，
2n-1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，
∴要求

n

k=1

gk的最大值，只要使得排列满足n到2n-2排列到2n-1的前面，1到n-1排列到2n-1的后面，
∴g₁=0，g₂=1，g₃=2，…g_2n-1=2n-2，
∴

n

k=1

gk的最大值是

(1+2n-2)(2n-2)

2

=（2n-1）（n-1）
比如举一个包含7项的数列：6，5，4，7，3，2，1
（III）∵f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的个数，
而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），
规定f_n=g₁=0，
∴f_n-1=g₂
f_n-2=g₃
…
∴f₁=g_n．
∴

n

k=1

fk=

n

k=1

gk

点评：本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，避免错误．