Question

（2012•成都一模）某社区为丰富居民的业余文化生活，准备召并一次趣味运动会．在“射击气球”这项比赛活动中，制定的比赛规则如下规则：每人只参加一场比赛，每场比赛每人都依次射击完编号为①、②、③、④、⑤的5个气球，每次射击一个气球；若这5次射击中，④、⑤号气球都被击中，且①、②、③号气球至少有1个被击中，则此人获奖；否则不获奖．已知甲每次射击击中气球的概率都为

2

3

，且各次击结果互不影响．
（I）求甲在比赛中获奖的概率；
（II）求甲至少击中了其中3个气球但没有获奖的概率．

Answer 1

分析：（I）先求出事件“①、②、③号气球全都没有击中”的概率等于(

1

3

)3=

1

27

，可得甲在比赛中获奖的概率等于(

2

3

)2×（1-

1

27

），运算求得结果．
（II）若④、⑤号气球只有一个没有被击中，求得所求的事件的概率；若④、⑤号气球两个都没有被击中，求得所求的事件的概率；再把这两个概率的值相加，即得所求．

解答：解：（I）事件“①、②、③号气球至少有1个被击中”的对立事件是：“①、②、③号气球全都没有击中”，
由题意可得，事件“①、②、③号气球全都没有击中”的概率等于(

1

3

)3=

1

27

，
故甲在比赛中获奖的概率等于 (

2

3

)2×（1-

1

27

）=

104

243

．
（II）甲至少击中了其中3个气球但没有获奖，说明 ④、⑤号气球至少有一个没有被击中．
若④、⑤号气球只有一个没有被击中，则所求的事件的概率等于
（ 

C

1 2

×

1

3

×

2

3

 ）×（

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

+(

2

3

)3）=

80

243

．
若④、⑤号气球两个都没有被击中，则所求的事件的概率等于 (

1

3

)2×(

2

3

)3=

8

243

．
综上可得，甲至少击中了其中3个气球但没有获奖的概率等于

80

243

+

8

243

=

88

243

．

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目．