Question

设f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x₁）-g（x₂）]_max，求出M的范围；
（3）当x∈[

1

2

，2]时，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立等价于a≥x-x²lnx恒成立，令h（x）=x-x²lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．

解答：解：（1）当a=2时，f(x)=

2

x

+xlnx，f′(x)=-

2

x2

+lnx+1，f（1）=2，f'（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3；（4分）
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，
考察g（x）=x³-x²-3，g′(x)=3x2-2x=3x(x-

2

3

)，

由上表可知：g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，g(x)max=g(2)=1，
[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=

112

27

，
所以满足条件的最大整数M=4；（8分）
（3）当x∈[

1

2

，2]时，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立
等价于a≥x-x²lnx恒成立，
记h（x）=x-x²lnx，h'（x）=1-2xlnx-x，h'（1）=0．
记m（x）=1-2xlnx-x，m'（x）=-3-2lnx，
由于x∈[

1

2

，2]，m'（x）=-3-2lnx＜0，
所以m（x）=h'（x）=1-2xlnx-x在[

1

2

，2]上递减，
当x∈[

1

2

，1)时，h'（x）＞0，x∈（1，2]时，h'（x）＜0，
即函数h（x）=x-x²lnx在区间[

1

2

，1)上递增，在区间（1，2]上递减，
所以h（x）_max=h（1）=1，所以a≥1．（14分）

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了划归与转化的思想，属于中档题．