题目内容
已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2011的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：因为的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，所以利用导函数的几何含义可以求出b=1，所以数列 {
}的通项公式可以具体，进而由数列的通项公式选择求和方法即可求解．
| 1 |
| f(n) |
解答：解：∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3⇒b=1，∴f（x）=x2+x
所以f（n）=n（n+1），∴数列 {
}的通项为
=
=
-
，
所以
的前n项的和即为Tn，
则利用裂项相消法可以得到：Tn=(1-
)+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)=1-
所以数列的前2011项的和为：T2011=1-
=
．
故选C．
由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3⇒b=1，∴f（x）=x2+x
所以f（n）=n（n+1），∴数列 {
| 1 |
| f(n) |
| 1 |
| f(n) |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
所以
| 1 |
| f(n) |
则利用裂项相消法可以得到：Tn=(1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+1 |
所以数列的前2011项的和为：T2011=1-
| 1 |
| 2012 |
| 2011 |
| 2012 |
故选C．
点评：此题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|