Question

【题目】如图，在直三棱柱中， ， ， ， 分别是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】试题分析：本题考查空间中线面平行的判定方法和用空间向量求二面角。（1）作辅助线，在平面内找到一条直线使得它与平行，然后用线面平行的判定定理证明。（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据两向量的夹角求出二面角的余弦值。

试题解析;

(1)证明：连,

由三棱柱是直三棱柱可得,

∴ 四边形为矩形，

由矩形性质得过的中点M,

又是的中点．

∴，

又，,

；

(2) 解：，

∴,

∴.

,

∴两两垂直。

建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,

,

设平面的法向量为，

则，

令则，

，

又易知平面的一个法向量为，

，

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.