Question

已知sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

(

π

2

＜a＜π)．求下列各式的值：
（1）sin α-cos α；
（2）sin³(

π

2

-α)+cos³(

π

2

+α)．

Answer 1

分析：（1）运用诱导公式整理题设等式求得sinα+cosα的值，然后平方整理可求得2sinα•cosα的值，最后利用同角三角函数的基本关系求得sinα-cosα的值．
（2）先用诱导公式整理后，进而展开，把（1）中的结论和同角三角函数基本关系求得答案．

解答：解：（1）由sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

，
得sinα+cosα=

2

3

．①
将①式两边平方，得1+2sinα•cosα=

2

9

，
故2sinα•cosα=-

7

9

，
又

π

2

＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0．
∴sinα-cosα＞0．
∴sinα-cosα=

1+ 7 9

=

4

3

（2）sin³（

π

2

-α）+cos³（

π

2

+α）=cos³α-sin³α
=（cosα-sinα）（cos²α+cosα•sinα+sin²α）=（-

4

3

）（1-

7

18

）=-

22

27

点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值．解题的时候要特别留意三角函数的名称和符号的变化．