Question

若不等式3x²-log_ax＜0在x∈（0，

1

3

）内恒成立，则a的取值范围是

[

1

27

，1）

．

Answer 1

分析：作出函数f（x）=3x²，x∈（0，

1

3

）的图象，结合题意可得0＜a＜1，作出函数g（x）=log_ax（0＜a＜1）的图象，结合图象确定a的取值范围．

解答：解：由题意可得，a＞1不符合题意，故0＜a＜1，
分别作出函数f（x）=3x²，x∈（0，

1

3

）和函数g（x）=log_ax（0＜a＜1）的图象，
而函数f（x）在（0，

1

3

）单调递增，函数g（x）=log_ax在（0，

1

3

）单调递减，
不等式x²-log_ax＜0在（0，

1

3

）内恒成立，只需f（

1

3

）≤g（

1

3

），
即

1

3

≤log_a

1

3

，解得

1

27

≤a＜1，
∴实数a的取值范围是

1

27

≤a＜1．
故答案为：[

1

27

，1)．

点评：本题考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．本题选用了数形结合法求解，将3x²-log_ax＜0在x∈（0，

1

3

）内恒成立，转化为函数f（x）=3x²与g（x）=log_ax的图象进行求解，解题时要注意抓住“临界”状态分析．为研究数量关系问题而提供“形”的直观性，是探求解题途径、获得解题结果的重要工具，应重视数形结合解题的思想方法．属于中档题．