Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f （x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f （x）≤．
（1）求f （1）的值；
（2）证明：ac≥；
（3）当x∈[-2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f （x）-mx （m为实数）是单调的，求证：m≤或m≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据x≤f （x）≤，令x=1，得到1≤f （1）≤，进而确定f（1）的值．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1得b=a+c=，则f（x）-x≥0，即ax²-x+c≥0，只需满足a＞0且△≤0．从而得出ac≥；
（3）a+c取得最小值时，a=c=，，F（x）=f（x）-mx=[x²+（2-4m）x+1]．由f（x）是单调的，F（x）的顶点一定在[-2，2]的外边．推出≥2，解得m的范围即可．
解答：解：（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，
有f（x）≤．令x=1
∴1≤f（1）≤．
即f （1）=1．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1．
有，可得b=a+c=．
又对任意x，f（x）-x≥0，即ax²-x+c≥0．
∴a＞0且△≤0．
即-4ac≤0，解得ac≥．
（3）由（2）可知a＞0，c＞0．
a+c≥2≥2•=．
当且仅当时等号成立．此时
a=c=．
∴f （x）=x²+x+，
F （x）=f （x）-mx=[x²+（2-4m）x+1]．
当x∈[-2，2]时，f （x）是单调的，所以F （x）的顶点一定在[-2，2]的外边．
∴≥2．
解得m≤-或m≥．
点评：本题考查了二次函数的性质，函数的恒成立问题，以及不等式的证法，属于中档题．