题目内容

设数列{an}满足：a1=2，an+1=an+
1
an
(n∈N*)．
（I）证明：an＞
2n+1
对n∈N*恒成立；
（II）令bn=
an
n
(n∈N*)，判断bn与bn+1的大小，并说明理由．
（1）证法一：当n=1时，a1=2＞
2×1+1
，不等式成立，
假设n=k时，ak＞
2k+1
成立（2分），
当n=k+1时，
a2k+1
=
a2k
+
1
a2k
+2＞2k+3+
1
a2k
＞2(k+1)+1．（5分）
∴n=k+1时，ak+1＞
2(k+1)+1
时成立
综上由数学归纳法可知，an＞
2n+1
对一切正整数成立（6分）
证法二：由递推公式得
a2n
=
a2n-1
+2+
1
a2n-1
，
a2n-1
=
a2n-2
+2+
1
a2m-2
a22
=
a21
+2+
1
a21
（2分）
上述各式相加并化简得
a2n
=
a21
+2(n-1)+
1
a21
+…+
1
a2n-1
＞22+2(n-1)=2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）
又n=1时，an＞
2n+1
显然成立，故an＞
2n+1
(n∈N*)（6分）
（2）解法一：
bn+1
bn
=
an+1
n
an
n+1
=(1+
1
a2n
)
n
n+1
＜(1+
1
2n+1
)
n
n+1
（8分）
=
2(n+1)
n
(2n+1)
n+1
=
2
n(n+1)
2n+1
=
(n+
1
2
)2-
1
4
n+
1
2
＜1（10分）
又显然bn＞0（n∈N*），故bn+1＜bn成立（12分）
解法二：
b2n+1
-
b2n
=
a2n+1
n+1
-
a2n
n
=
1
n+1
(
a2n
+
1
a2m
+2)-
a2n
n
（8分）
=
1
n+1
(2+
1
a2m
-
a2n
n
)＜
1
n+1
(2+
1
2n+1
-
2n+1
n
)（10分）
=
1
n+1
(
1
2n+1
-
1
n
)＜0
故bn+12＜bn2，因此bn+1＜bn（12分）
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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