Question

已知关于x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数f（x）=-x²+4ax+4在（1，+∞）上递减，求关于x的不等式log_a（-nx²+3x+2-m）＞0（a＞0，a≠1）的解集．

Answer 1

（1）∵x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
由题意知，n和5是方程x²-4x-m=0的两个根，…（2分）
所以n+5=4，5n=-m，得n=-1，m=5   …（4分）
（2）由题意知，对称轴x=2a，2a≤1，得a≤

1

2

，a的范围是(0，

1

2

]…（6分）
log_a（-nx²+3x+2-m）＞0?0＜-nx²+3x+2-m＜1
即

x2+3x-4＜0 x2+3x-3＞0

，…（10分）
得-4＜x＜

-3- 21

2

或

-3+ 21

2

＜x＜1…（12分）
所以原不等式的解集为(-4，

-3- 21

2

)∪(

-3+ 21

2

，1)．…（14分）