Question

椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若过F1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 (2)存在，斜率k的取值范围为-<k<

【解析】

解:(1)依题意

解得a2=4,b2=3,

∴椭圆的方程为+=1.

(2)①当过F1的直线AB的斜率不存在时,

不妨取A（-1,）,B（-1,-）

则·=,显然∠AF2B不为钝角.

②直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),

由

消去y,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.

∵直线l与椭圆交于两点,

∴Δ=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=4×36(k2+1)>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1·x2=.

=(x1-1,y1),=(x2-1,y2).

∵∠AF2B为钝角,

∴·<0.

即(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,

整理得(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1<0.

即(k2+1)·-(k2-1)·+k2+1<0,

整理得7k2<9,

解得-<k<.

∴存在满足条件的直线l,

其斜率k的取值范围为-<k<.