Question

【题目】已知函数，且，对任意实数，成立.

（1）求函数的解析式；

（2）若，解关于的不等式；

（3）求最大的使得存在，只需，就有.

Answer 1

【答案】（1）；（2时，；时，；时，；（3）

【解析】

（1）根据和联立求解得到答案.

（2）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.

（3）假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．那么当x＝1时也成立确定出t的范围，然后研究当x＝m时也应成立，利用函数的单调性求出m的最值．

（1），恒成立，则 且

即

（2）即

当时：解得；当时：

故当时：，不等式无解；

故当时：，不等式解为

综上所述：时，；时，；时，

（3）假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

取x＝1，有f（t+1）≤1，即（t+1）2（t+1）1，解得﹣4≤t≤0，

对固定的t∈[﹣4，0]，取x＝m，有f（t+m）≤m，即（t+m）2（t+m）m．

化简有：m2﹣2（1﹣t）m+（t2+2t+1）≤0，解得1﹣tm≤1﹣t，

故m≤1﹣t1﹣（﹣4）9

当t＝﹣4时，对任意的x∈[1，9]，

恒有f（x﹣4）﹣x（x2﹣10x+9）（x﹣1）（x﹣9）≤0．

∴m的最大值为9．