Question

（本小题满分12分）

如图，为椭圆上的一个动点，弦、分别过焦点、，当垂直于轴时，恰好有

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设.

①当点恰为椭圆短轴的一个端点时，求的值；

②当点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否为定值？

若是，请证明；若不是，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)(3)

【解析】

试题分析：（Ⅰ）法一：设，则.由题设及椭圆定义得

，消去得，所以离心率. ………………2分

法二：由椭圆方程得，又，，即，可求.

(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，，所以椭圆方程可化为.

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，，直线的方程为.

由得，解得，

∴点的坐标为.

又，所以，，所以，. ………5分

②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.

证明：设，，则.

若为椭圆的长轴端点，则或，

所以.               ………………7分

若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由得，，所以.

又直线的方程为，所以由得

.

，∴.

由韦达定理得　，所以.　同理.

∴.

综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6. ………………12分

法二：设，，则

∵，∴；            ………………6分

又①，②，将、代入②得：

 即③；

③①得：；                               ……………10分

同理：由得，∴，

∴.                                           ……………12分

考点：本试题考查了椭圆的知识。

点评：解决该试题的关键是能利用联立方程组的方法，结合韦达定理，以及判别式，来表示参数的值，进而结合函数的表达式化简求解为定值，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。