Question

设△ABC的两个顶点A（-a，0），B（a，0）（a＞0），顶点C是一个动点且满足直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m，试求顶点C的轨迹方程，并指出轨迹类型．

Answer 1

分析：根据△ABC的两个顶点A（-a，0），B（a，0）（a＞0），直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m，可建立等式关系，从而得到轨迹方程，进一步可求得轨迹类型．

解答：解：设C的坐标为（x，y），则
∵△ABC的两个顶点A（-a，0），B（a，0）（a＞0），直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m
∴

y

x+a

×

y

x-a

=m
∴

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，（y≠0）
当m=-1时，轨迹是一个圆（除去与x轴的交点）；
当0＞m＞-1是焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）；
当m＜-1是焦点在y轴上的椭圆（除去与x轴的交点）．

点评：本题考查的重点是轨迹方程及轨迹，解题的关键是根据题意，建立等式关系．