Question

（2012•浙江模拟）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1）平面内两点G、M同时满足①

GA

+

GB

+

GC

=

0

，②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|，③

GM

∥

AB

（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（

2

，0），已知

PF

∥

FQ

，

RF

∥

FN

且

PF

•

RF

=0．求四边形PRQN面积S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据

GA

+

GB

=2

GO

，以|

MC

|=|

MA

|，分别得到解析式，联立即可求出顶点C的轨迹E的方程．
（2）根据题意设出直线PQ的方程，将之代入（1）的方程中，运用设而不求韦达定理，求出|PQ|，然后根据RN⊥PQ，求出S的解析式．最后即可求出四边形PRQN面积S的最大值和最小值．

解答：解：（1）设C（x，y），
∵

GA

+

GB

=2

GO

，
由①知

GC

=2

GO

，
∴G为△ABC的重心，
∴G（

x

3

，

y

3

）
由②知M是△ABC的外心，
∴M在x轴上．
由③知M（

x

3

，0），
由|

MC

|=|

MA

|得

( x 3 )2+1

=

(x- x 3 )2+y2

化简整理得：

x2

3

+y2=1（x≠0）
（2）F（

2

，0）恰为

x2

3

+y2=1的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±

2

2

，
则直线PQ的方程为y=k（x-

2

）
由

y=k(x- 2 ) x2+3y2-3=0

⇒(3k2+1)x2-6

2

k2x+6k2-3=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x₁+x₂=

6 2 k2

3k2+1

，x₁•x₂=

6k2-3

3k2+1

；
则|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 6 2 k2 3k2+1 )2-4• 6k2-3 3k2+1

=

2 3 (k2+1)

3k2+1

∵RN⊥PQ，把k换成-

1

k

得|RN|=

2 3 (k2+1)

3+k2

∴S=

1

2

|PQ|•|RN|
=

6(k2+1)2

(3k2+1)(k2+3)

=2-

8

3(k2+ 1 k2 )+10

）
∴3(k2+

1

k2

)+10=

8

2-S

∵k2+

1

k2

≥2，
∴

8

2-S

≥16，
∴

3

2

≤S＜2，（当k=±1时取等号）
又当k不存在或k=0时S=2
综上可得

3

2

≤S≤2，
∴S_max=2，S_min=

3

2

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量与共线向量，向量数量积的运算，以及求点的轨迹方程．通过运用设而不求韦达定理，方便的求出坐标的关系，考查了对知识的综合运用能力，属于中档题．