题目内容

已知函数 $数学公式$
（I）求函数f（x）的对称中心和单调区间；
（II）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，3，且f（C）=1，若向量 $数学公式$ 共线，求a、b的值．

解：（I） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =sin（ $\text{[math]}$ ）
令 $\text{[math]}$ ，则x= $\text{[math]}$ ，∴函数f（x）的对称中心为（ $\text{[math]}$ ，0）（k∈Z）；
令 $\text{[math]}$ ，可得x∈ $\text{[math]}$ ，∴函数的单调增区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）；令 $\text{[math]}$ ，可得x∈ $\text{[math]}$ ，∴函数的单调减区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）；
（II）∵f（C）=1，∴sin（ $\text{[math]}$ ）=1，∵0＜C＜π，∴C= $\text{[math]}$ ，
∵向量 $\text{[math]}$ 共线，
∴sinB=2sinA，∴b=2a
∵c=3，∴由余弦定理可得a²+b²-ab=9
∴a= $\text{[math]}$ ，b=2 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质，可求函数f（x）的对称中心和单调区间；
（II）先求C，再利用向量共线及正弦定理、余弦定理，建立方程，即可求a、b的值．
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查向量知识的运用，考查正弦、余弦定理，属于中档题．