Question

函数f（x）是奇函数，且在[-1，1]是单调增函数，又f（-1）=-1，则满足f（x）≤t²+2at+1对所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]都成立的t的范围是________．

Answer 1

（-∞．-2]∪{0}∪[2，+∞）
分析：由已知中函数f（x）是奇函数，且在[-1，1]是单调增函数，又f（-1）=-1，我们易求出当x∈[-1，1]时，函数f（x）值域，然后可以将不等式f（x）≤t²+2at+1转化为函数恒成立问题，对t值进行分类讨论后，即可得到答案．
解答：∵函数f（x）是奇函数，且在[-1，1]是单调增函数，又f（-1）=-1，
∴f（1）=1，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]
若f（x）≤t²+2at+1对所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]都成立
则t²+2at+1≥1在a∈[-1，1]上恒成立
当t=0时，不等式恒成立，满足条件；
当t＞0时，不等式可化为：t²-2t+1≥1，解得t≥2；
当t＜0时，不等式可化为：t²+2t+1≥1，解得t≤-2；
综上满足条件的t的范围是（-∞．-2]∪{0}∪[2，+∞）
故答案为：（-∞．-2]∪{0}∪[2，+∞）
点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知结合函数的奇偶性与单调性判断出当x∈[-1，1]时，函数f（x）值域，是解答本题的关键．