Question

如图1所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（本小题满分12分）

   （I）证明：在正方形ADD₁A中，因为CD=AD－BC=5，

       所以三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5.

       因为AB=3，BC=4，

       所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC学.科.网Z.X.X.K]

       因为四边形ADD₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁

       所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，

       所以AB⊥平面BBC₁B₁.

   （II）解：在因为AB⊥平面BBC₁B₁，

       所以AB 为四棱锥A—BCQP的高.

       因为四边菜BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，

       所以梯形BCQP的面积为，

       所以四棱锥A—BCQP的体积

   （III）解：由（I）、（II）可知，AB，BC，BB₁两两互相垂直.以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，

       则A（0，0，3），B（0，0，0），

       C（4，0，0），P（0，3，0），

       Q（4，7，0），

       所以

       设平面PQA的一个法向量为      n₁=（x，y，z）.

      

      

       显然平观BCA的一个法向量为

       设平面PQA与平面BCA所成锐二面角为θ.

       则

       所以平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为