Question

已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)．

(Ⅰ)当a＝时，如果关于x的方程：f(x)－k＝0有且只有一个解，求实数k的取值范围；

(Ⅱ)当a＝2时，试比较f(x)与1的大小；

(Ⅲ)求证：．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当时，，定义域是， 　　，令，得或　　1分 　　当或时，，当时，， 　　函数在、上单调递增，在上单调递减　　2分 　　的极大值是，极小值是． 　　当时，；当时，， 　　当仅有一个零点时，的取值范围是或　　4分 　　(2)当时，，定义域为． 　　令， 　　， 　　在上是增函数　　8分 　　①当时，，即； 　　②当时，，即； 　　③当时，，即　　8分 　　(3)(法一)根据(2)的结论，当时，，即． 　　令，则有，　　10分 　　， 　　　　12分 　　(法二)当时，． 　　，，即时命题成立　　9分 　　设当时，命题成立，即． 　　时，． 　　根据(2)的结论，当时，，即． 　　令，则有， 　　则有，即时命题也成立　　11分 　　因此，由数学归纳法可知不等式成立　　12分