Question

已知函数f（x）=x-1-lnx．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：当n∈N^*时，；
（3）对于函数h（x）和g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，则称直线y=kx+b是函数h（x）与g（x）的“分界线”．设函数，g（x）=e[x-1-f（x）]，试问函数h（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=x-1-lnx（x＞0）
∴，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）的最小值为f（1）=0．…（4分）
（2）证明：由（1）知当x＞0时恒有f（x）≥0，即x-1≥lnx，
∴e^x-1≥x，从而有e^x≥x+1，当且仅当x=0时取等号，…（6分）
分别令，
得，
相乘可得．…（8分）
（3）解：令，
则，
当时，F′（x）＜0，F（x）递减，
当时，F′（x）＞0，F（x）递增，
∴当时F（x）取得最小值0，
则h（x）与g（x）的图象在处有公共点．…（10分）
设函数h（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，
应有在x∈R时恒成立，
即在x∈R时恒成立，
必须，
得．…（13分）
下证在x＞0时恒成立，
记，
则，当时，G′（x）＞0，G（x）递增，
当时，G′（x）＜0，G（x）递减，
∴当时G（x）取得最大值0，
即在x＞0时恒成立，
综上知，函数h（x）与g（x）存在“分界线”，其中．…（16分）
分析：（1）由f（x）=x-1-lnx（x＞0）知，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，由此能求出f（x）的最小值．
（2）由（1）知当x＞0时恒有f（x）≥0，即x-1≥lnx，故e^x-1≥x，从而有e^x≥x+1，当且仅当x=0时取等号，由此能够证明当n∈N^*时，．
（3）令，则，当时，F′（x）＜0，F（x）递减，当时，F′（x）＞0，F（x）递增，故当时F（x）取得最小值0，则h（x）与g（x）的图象在处有公共点．由此能够导出函数h（x）与g（x）存在“分界线”，其中．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．