Question

设函数f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函数，又f（ｘ）在（０，＋∞）上是减函数，并且f（ｘ）＜０，指出F（ｘ）＝在（－∞，０）上的增减性?并证明.

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：设ｘ１，ｘ２∈（－∞，０），且ｘ１＜ｘ２， 则－ｘ１＞－ｘ２＞０ ∵f（ｘ）在(0，＋∞)上是减函数. ∴f（－ｘ１）＜f（－ｘ２）    ① 又∵f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函数， ∴f（－ｘ１）＝－f（ｘ１），f（－ｘ２）＝－f（ｘ２） 由①式得－f（ｘ１）＜－f（ｘ２） ∴f（ｘ１）＞f（ｘ２） 当ｘ１＜ｘ２＜０时，F（ｘ２）－F（ｘ１）＝－ ∵F（ｘ２）－F（ｘ１）＝ 又∵f（ｘ）在（０，＋∞）上总小于0. ∴f（ｘ１）＝－f（－ｘ１）＞０，f（ｘ２）＝－f（－ｘ２）＞０ 又f（ｘ１）＞f（ｘ２） ∴F（ｘ２）－F（ｘ１）＞０且ｘ１－ｘ２＜０， 故F（ｘ）＝在（－∞，０）上是增函数