Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=，P₁为椭圆上一点，满足•=0，•=，斜率为k的直线l 过左焦点F₁且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段所成的比为λ．
（I） 求椭圆C的方程；
（II） 设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设||=r₁，||=r₂，•=0，利用△P₁F₁F₂为直角三角形，得出r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，利用向量的数量积公式即可得到r₂=，从而得 =，又e==，解得a，b．最后写出椭圆C的方程；
（2）可求得|RH|关于k的表达式，在y=k（x+1）中，令x=0，得G（0，k），由定比分点坐标公式⇒k²=（3λ²+8λ+4），显然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上递增，从而求得|RH|的取值范围．
解答：解：（1）设||=r₁，||=r₂，•=0，
△P₁F₁F₂为直角三角形且∠P₁F₂F₁=90，则r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，
由•=⇒r₁r₂cosF₁P₁F₂=⇒r₂=
由（2a-）²=+4c²得 =，又e==，解得a²=4，b²=3∴椭圆C的方程为+=1
（2）可求得|RH|=3+
在y=k（x+1）中，令x=0，得y=k，即得G（0，k），
由定比分点坐标公式⇒k²=（3λ²+8λ+4），
显然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上递增，
∴≤k²≤24，∴3≤|RH|≤3即为|RH|的取值范围．
点评：本小题主要考查椭圆的方程、椭圆的简单性质、定比分点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．