Question

A、B是函数f（x）=

1

2

+log2

x

1-x

的图象上的任意两点，且

OM

=

1

2

（

OA

+

OB

），已知点M的横坐标为

1

2

．
（Ⅰ）求证：M点的纵坐标为定值；
（Ⅱ）若S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），n∈N₊且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知数列{a_n}的通项公式为an=

2 3 (n=1) 1 (Sn+1)(Sn+1+1) (n≥2，n∈N+)

．T_n为其前n项的和，若T_n＜λ（S_n+1+1），对一切正整数都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

1

2

，y_m），由

OM

=

OA + OB

2

得

x1+x2

2

=

1

2

，由此能求出M点的纵坐标．
（Ⅱ）当n≥2时，

n-1

n

∈（0，1），又1=

1

n

+

n-1

n

=

2

n

+

n-2

n

=…=x₁+x₂，故f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=f(

2

n

)+f(

n-2

n

)=…=f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1．由此能求出S_n．
（Ⅲ）由已知T₁=a₁=

2

3

，n≥2时，an=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，故T_n=a₁+a₂+…+a_n=

2

3

+4[(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=

2n

n+2

．由此入手能够求出实数λ的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

1

2

，y_m），
由

OM

=

OA + OB

2

，
得

x1+x2

2

=

1

2

，
即x₁+x₂=1．
ym=

y1+y2

2

=

1

2

[1+log2

x1

1-x1

+log2

x2

1-x2

]=

1

2

[1+log2

x1

x2

+log2

x2

x1

]=

1

2

[1+log2

x1

x2

•

x2

x1

]=

1

2

即M点的纵坐标为

1

2

．…（4分）
（Ⅱ）当n≥2时，

n-1

n

∈（0，1），
又1=

1

n

+

n-1

n

=

2

n

+

n-2

n

=…=x₁+x₂，
∴f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=f(

2

n

)+f(

n-2

n

)=…=f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1．
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，
又Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)，
∴2S_n=n-1，
则Sn=

n-1

2

（n≥2，n∈N₊）．…（10分）
（Ⅲ）由已知T₁=a₁=

2

3

，
n≥2时，an=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=

2

3

+4[(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=

2n

n+2

．
当n∈N₊时，T_n＜λ（S_n+1+1），
即λ＞

4n

(n+2)2

，n∈N₊恒成立，
则λ＞[

4n

(n+2)2

]max．
而

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

（n=2时“=”成立），
∴λ＞

1

2

，
∴实数λ的取值范围为（

1

2

，+∞）．…（16分）

点评：本题考查数列和向量的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．