Question

设函数f（x）=x•2^x+x，A₀为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

，i=（1，0），设θ_n为a_n与i的夹角，则

n

k=1

tanθk=

 

．

Answer 1

分析：根据题意先求出A_n与A_n-1的坐标，然后表达出

An-1An

，进而求出向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

=（n，n•2ⁿ+n），最后根据题意求出tanθ_n=2ⁿ+1与

n

k=1

tanθk，即可得到答案．

解答：解：由题意可得：A_n为（n，n2ⁿ+n），所以A_n-1为（n-1，（n-1）•2^n-1+（n-1）），
所以

An-1An

=（1，（n+1）•2^n-1+1）．
设bn=（n+1）2^n-1，所以数列{bn}的前n项和为n•2ⁿ．
所以向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

=（n，n•2ⁿ+n）．
因为i=（1，0），
所以θ_n即为向量a_n与x轴的夹角，
所以tanθ_n=2ⁿ+1，
所以

n

k=1

tanθk=(2+22++2n+n)=2n+1+n-2．
故答案为2ⁿ⁺¹+n-2．

点评：解决此类问题的关键是读懂题意写出向量的坐标形式，结合等比数列的求和公式与向量的夹角表示，即可解决问题．