Question

是否存在一个等比数列{a_n},并且使其满足下列三个条件:

(1)a₁+a₆=11,且a₃a₄=;

(2)a_n+1＞a_n;

(3)至少存在一个m(m∈N^*,且m＞4),使a_m-1,a_m²,a_m+1+依次成等差数列.若存在,请写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：假设存在符合条件的等比数列{a_n},

则a₃a₄=a₁a₆=,与a₁+a₆=11联立,

解得

又∵a _n+1＞a_n,

∴取a₁=,a₆=;

将a₁=,a₆=舍去.

设公比为q,由a₆=a₁q⁵得=q⁵,

解得q=2.

∴a_n=·2^n-1.

又∵a_m-1,a_m²,a_m+1+成等差数列,

∴2a_m²=a_m-1+(a_m+1+),

即2(·2^m-1)²=(·2^m-2)+(·2^m+),

化简整理,得2^2m-7·2^m-8=0,

即(2^m-8)(2^m+1)=0.

∵2^m+1＞0,

∴2^m-8=0,即2^m=8.

∴m=3,这与条件(3)中的m＞4矛盾.

∴不存在符合题意的等比数列.