Question

已知函数f(x)=

m

x

+n，f（2）=3，f（-1）=0，
（1）求m，n的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）直接根据条件f（2）=3，f（-1）=0建立方程组进行求解即可；（2）则根据函数单调性的定义进行证明．注意作差化简后结果的保留形式．

解答：解：（1）根据题意，

f(2)= m 2 +n=3 f(-1)=-m+n=0

，解得m=n=2，
（2）根据（1）知道，f(x)=

x

2

+2，
设x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题重点考查函数的单调性，待定系数法求解函数的解析式的一般思想．注意函数单调性的证明问题的一般格式．