Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=(p≠2,p≠4,p为常数)，若对任意n≥2且n∈N^*都有pS_n-4,a_n,2-S_n-1总成等差数列.

(Ⅰ)证明数列{a_n}是等比数列；

(Ⅱ)若S_n=,

(1)求数列{a_n}的通项a_n;

(2)设c_n=tⁿ〔(n+1)lg3+nlgt+lga_n+1〕(n∈N^*,t＞0)，且c_n＜c_n+1(n∈N^*)

求实数t的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵pS_n-4,a_n,2-S_n-1成等差数列，

∴2a_n=pS_n-S_n-1-2(n≥2,n∈N^*)，      ①

∴2a_n-1=pS_n-1-S_n-2-2(n≥3,n∈N^*)，②

①-②，得2a_n-2a_n-1=pa_n-a_n-1(n≥3,n∈N^*),

∴(2-p)a_n=(2-)a_n-1(n≥3,n∈N^*).

∵p≠2,p≠4,a₂≠0,∴a_n≠0(n∈N^*).

    故=(n≥3,n∈N^*).

    又2a₂=p(a₁+a₂)-a₁-2，

∴a₂=，∴=.

∴=，对n≥2，n∈N^*恒成立.

∴数列{a_n}是以为首项，以(p为常数,且p≠2,p≠4)为公比的等比数列.

(Ⅱ)(1)S_n=,

∴=，且||＜1，

∴p=8,∴a₁=,g=,

∴a_n=()ⁿ(n∈N^*).

(2)c_n+1-c_n=tⁿ〔(t-1)n+t〕lgt＞0(t＞0,n∈N^*)恒成立.

∴或恒成立.

∴t＞1或0＜t＜，即t的范围为{t|t＞1或0＜t＜}.