题目内容
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，BC，AB，D1C1的中点．（1）求证：点E，F，G，H四点共面；
（2）求证：平面A1BC1∥平面EFGH．
分析：（1）利用三角形中位线性质，可得EF∥GH，从而可得点E，F，G，H四点共面；
（2）证明EF∥平面A1BC1，FG∥平面A1BC1，利用面面平行的判定定理，即可得到结论．
（2）证明EF∥平面A1BC1，FG∥平面A1BC1，利用面面平行的判定定理，即可得到结论．
解答：证明：（1）∵E，F，G，H分别为棱CC1，BC，AB，D1C1的中点
∴EF∥BC1，GH∥BC1，
∴EF∥GH，
∴点E，F，G，H四点共面；
（2）由（1）知EF∥BC1，
∵EF?平面A1BC1，BC1?平面A1BC1，
∴EF∥平面A1BC1，
同理FG∥平面A1BC1，
∵EF∩FG=F，
∴平面A1BC1∥平面EFGH．
∴EF∥BC1，GH∥BC1，
∴EF∥GH，
∴点E，F，G，H四点共面；
（2）由（1）知EF∥BC1，
∵EF?平面A1BC1，BC1?平面A1BC1，
∴EF∥平面A1BC1，
同理FG∥平面A1BC1，
∵EF∩FG=F，
∴平面A1BC1∥平面EFGH．
点评：本题考查四点共面，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面平行的判定定理是关键．
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