Question

（2012•红桥区一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
（Ⅲ）设b_n=2a_n-1，求使不等式(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）≥m

2n+1

对一切n∈N^*均成立的最大实数m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件根据数列的前n项和与第n项的关系，分别令n=1、2、3 可得a₁，a₂，a₃ 的值．
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式为 a_n=n，用数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）由题意可得 m≤

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

2n+1

．由于b_n=2a_n-1=2n-1，设F（n）=

1

2n+1

•(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）=（1+

1

1

）•（1+

1

3

）•（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

），化简 

F(n+1)

F(n)

的值大于1，
即F（n）是随n的增大而增大，故F（n）的最小值为F（1）=

2 3

3

，由此可得m的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由于数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*），
令n=1可得2S₁=2a₁=a12+1，解得a₁ =1．
再令n=2可得 2（1+a₂）=a22+2，解得a₂ =2，同理求得a₃=3．
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式为 a_n=n．
证明：当n=1时，显然a_n=n成立．
假设n=k时，命题成立，即 a_k=k，则 a_k+1=S_k+1-S_k=

ak+12+k+1

2

-

ak2+k

2

=

ak+12-k2+1

2

，
化简可得 ak+12-2a_k+1+1-k²=0，解方程求得a_k+1=k+1，
故当n=k+1时，a_n=n还成立．
综上可得 a_n=n对所有的正整数都成立．
（Ⅲ）由不等式(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）≥m

2n+1

对一切n∈N^*均成立，
可得 m≤

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

2n+1

．
由于b_n=2a_n-1=2n-1，设F（n）=

1

2n+1

•(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）
=

1

2n+1

•（1+

1

1

）•（1+

1

3

）•（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

），
则

F(n+1)

F(n)

=

1 2n+3 (1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn+1 )

1 2n+1 (1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1，
F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大，故F（n）的最小值为F（1）=

2

3

=

2 3

3

，∴m≤

2 3

3

，
即 m的最大值为

2 3

3

．

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，由数列的前n项和求通项公式，利用函数的单调性求最值，属于难题．