Question

【题目】已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）。

【解析】

试题分析：（1），由于，且，所以当时，时，或，时，；当时，时，，时，或；所以时，增区间为，减区间为，；时，增区间为，，增区间为；（2）当时，若对任意，恒成立，问题转化为当，，由第（1）问讨论可知，当时，在上递增，上递减，所以

，所以问题转化为，，当 时，对于，，单调递增，，不合题意，故不成立；当时，令得，，分当，即 时，当，即 时两种情况讨论。考查分类讨论能力。

试题解析：（1） 定义域为R， ，

①当 时，对于，单调递减，对于， 单调递增；

所以，函数的单调增区间是， 单调减区间是

②当时，对于，单调递增，对于， 单调递减；

所以，函数的单调增区间是，单调减区间是

（2）依题意，当 时，对于 有

由（1）知，函数在 上单调递增，在上单调递减，

又，， 即：，

所以应有：

,

① 时，对于，，单调递增，

，不合题意，故不成立；

②当时，令得，

（ⅰ）当，即 时，在上，，所以

由得 ，所以

（ⅱ）当，即 时，在 上，在上，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由得 ，所以 ,综上：的取值范围是