Question

已知

m

=(sinωx，cosωx)，

n

=(cosωx，cosωx)，(ω＞0)若函数f（x）=

m

•

n

-

1

2

的最小正周期是4π．
（1）求函数y=f（x）取最值时x的取值集合；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角、两角和的正弦函数，化为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的最大值求函数y=f（x）取最值时x的取值集合；
（2）利用正弦定理以及两角和的正弦函数化简（2a-c）cosB=bcosC，求出B大小，利用（1）可得函数f（A）的表达式，结合A的范围，即可求出函数f（A）的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

-

1

2

=（sinωx，cosωx）•（cosωx，cosωx）
=sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

1

2

sin2ωx+

1+cosωx

2

-

1

2

=

1

2

(sin2ωx+cos2ωx)
=

2

2

sin(2ωx+

π

4

)
∵T=4π=

2π

2ω

，∴ω=

1

4

∴f（x）=

2

2

sin(

1

2

x+

π

4

)，
当

1

2

x+

π

4

=

π

2

+kπ （k∈Z）时，f（x）取得最值，
此时x的取值集合为：{x|x=

π

2

+kπ，k∈Z}．
（2）因为（2a-c）cosB=bcosC，
⇒（2sinA-cosC）cosB=sinBcosC，
⇒2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
⇒2cosB=1
⇒B=

π

3

．
f（A）=

2

2

sin(

1

2

A+

π

4

)，0＜A＜

2π

3

，
∴

π

4

＜ 

1

2

A+

π

4

＜ 

7π

12

，
sin(

1

2

A+

π

4

)∈(

2

2

，1]，
∴

2

2

sin(

1

2

A+

π

4

)∈(1，

2

2

]，
∴

1

2

＜f(A)≤ 

2

2

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数等知识，考查计算能力．