Question

已知圆O：x²+y²=4，过点M（1，）的两条弦AC，BD互相垂直，则|AC|+|BD|的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：过O作ON⊥AC于N，作OP⊥BD于P，连结OM．矩形OPMN中，算出|OP|²+|ON|²=|OM|²=3，由此结合垂径定理得到|AC|²+|BD|²=20，利用基本不等式即可证出当且仅当|AC|=|BD|=时，|AC|+|BD|的最大值为2．
解答：解：过O作ON⊥AC于N，作OP⊥BD于P，连结OM
则矩形OPMN中，|OM|²=|OP|²+|ON|²=1²+（）²=3
根据垂径定理，得
|AC|²=（2AN）²=4（R²-|ON|²）=4（4-|ON|²）
|BD|²=（2BP）²=4（R²-|OP|²）=4（4-|OP|²）
∴|AC|²+|BD|²=4[8-（|OP|²+|ON|²）]=32-4×3=20
因此，结合基本不等式得（|AC|+|BD|）²≤2（|AC|²+|BD|²）=40
当且仅当|AC|=|BD|=时，|AC|+|BD|的最大值为2
故答案为：2
点评：本题给出圆内经过定点的互相垂直的两条直线，求它们长度和的最大值．着重考查了垂径定理、直线与圆的位置关系和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．