Question

已知AB是抛物线x²＝2py(p＞0)的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线．m为过A点且以为方向向量的直线．

(1)若过点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|＝|CF|；

(2)若(A、B异于原点)，直线OB与m相交于点M，试求点M的轨迹方程；

(3)若AB为焦点弦，分别过A、B点的抛物线的两条切线相交于点T，求证：AT⊥BT，且T点在l上．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图所示，设，易知点即为切点． 　　∵，∴，于是的方程为：，即：，令，得即由抛物线的定义可知，． 　　又∴．　　4分; 　　(2)设∵·，∴，∴，．直线的方程：　　①　　6分 　　直线m的方程：　　　　　　②，①×②，得，∴ 　　∵，∴，∴点的轨迹方程为．　　8分; 　　(3)设，易知、为切点，则 　　由于是焦点弦，可设的方程为：，代入，得：， 　　∴，∴，∴．　　10分 　　由(1)知，的方程：， 　　∴，即：．又∵过焦点，∴，∴，∴点在准线l上．　　12分